마름모의 성질

마름모의 정의

마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형입니다.

이는 평행사변형이 되는 조건 중 '두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다'를 만족하므로 평행사변형입니다.

즉, 마름모는 평행사변형의 성질을 모두 만족시킵니다.

 

마름모의 성질: 두 대각선은 서로를 수직이등분한다.

마름모는 평행사변형이니까 '두 대각선은 서로를 이등분한다'는 성질이 있습니다.

여기에 두 대각선이 수직이라는 성질이 추가되었습니다.

마름모의 두 대각선이 서로 수직임을 증명해 보겠습니다.

마름모 ABCD에 대각선을 긋고 교점을 O라고 하겠습니다.

$ \triangle{\rm ABO} $와 $\triangle{\rm ADO} $를 볼게요.

$ \overline{\rm AB} = \overline{\rm AD} $ (마름모의 정의)
$ \overline{\rm AO} $는 공통
$ \overline{\rm BO} = \overline{\rm DO} $ (평행사변형의 성질: 두 대각선은 서로를 이등분)
따라서, $ \triangle{\rm ABO} \equiv \triangle{\rm ADO} $ (SSS 합동)입니다.

대응각이 같으므로 $ \angle{\rm AOB} = \angle{\rm AOD} $
$ \angle{\rm AOB} + \angle{\rm AOD} = 180^\circ$ (평각)
$ 2\angle{\rm AOB} = 180^\circ $ 이므로
$ \angle{\rm AOB} = \angle{\rm AOD} = 90^\circ$
따라서 $ \overline{\rm AC} \perp \overline{\rm BD} $
즉, 마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분합니다.

 

평행사변형이 마름모가 되는 조건

마름모가 아닌 평행사변형은 만족시키지 않는 마름모만의 성질을 만족시킨다면, 그 평행사변형은 마름모라고 할 수 있습니다.

1. 네 변의 길이가 모두 같다.(마름모의 정의)

2. 두 대각선이 서로를 수직이등분한다.(마름모의 성질)

 

 

이웃하는 두 변의 길이가 같다.

'네 변의 길이가 모두 같은 사각형'이 바로 마름모의 정의입니다.

평행사변형이 네 변의 길이가 같게 되면 마름모가 되겠죠?

평행사변형은 두 쌍의 대변의 길이가 같으니까 이웃한 변의 길이가 같으면 결국 네 변의 길이가 같아집니다.

 

 

두 대각선이 수직이다.

평행사변형의 대각선의 성질인 '두 대각선이 서로를 이등분한다.'에서 마름모는 '두 대각선이 수직이다.'가 추가되었죠?

평행사변형의 두 대각선이 수직이면(가정) 앞서 증명했던 이웃하는 두 변의 길이가 같음을 보여서 마름모가 된다는 것을 증명할 거예요.

$ \triangle{\rm ABO},\; \triangle{\rm ADO} $에서
$ \overline{\rm BO} = \overline{\rm DO} $ (평행사변형의 성질: 대각선은 서로를 이등분)
$ \angle{\rm AOB} = \angle{\rm AOD} = 90^\circ$ (가정)
$ \overline{\rm AO} $는 공통
따라서, $ \triangle{\rm ABO} \equiv \triangle{\rm ADO} $ (SAS 합동)이므로
대응변인 $ \overline{\rm AB} = \overline{\rm AD} $
이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 $\square{\rm ABCD} $는 마름모입니다.