평행사변형이 되는 조건

이전 포스팅에서는 평행사변형의 정의와 성질을 다뤘습니다.

(1) 평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이다.(정의)

(2) 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같다.(성질 1)

(3) 평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다.(성질 2)

(4) 평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분한다.(성질 3)

 

평행사변형의 성질을 거꾸로 하면 평행사변형이 되기 위한 조건이 됩니다.

평행사변형이면(가정) →  이러한 성질이 성립한다.(결론)

여기에서 가정과 결론을 바꾸는 거예요.

이러한 성질이 성립하면(가정) → 평행사변형이다.(결론)

 

평행사변형이 되는 조건

다음 조건 중 어느 하나를 만족시키는 $ \square{\rm ABCD} $는 평행사변형입니다.

 

(1) 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.

두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 평행사변형이라고 부르기로 약속했어요.

그래서 이 조건을 만족하면 당연히 평행사변형이고(정의에 의해), 증명은 필요하지 않아요.

 

(2) 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

가정: $ \angle{\rm A} = \angle{\rm C}, \; \angle{\rm B} = \angle{\rm D} $

사각형의 내각의 크기의 합은 $ 360^\circ $입니다.

$ \angle{\rm A} + \angle{\rm B} + \angle{\rm C} + \angle{\rm D} = 360^\circ $

$ 2\angle{\rm A} + 2\angle{\rm B} = 360^\circ $ ($ \angle{\rm A} = \angle{\rm C},\;  \angle{\rm B} = \angle{\rm D} $)

(1) $ \angle{\rm A} + \angle{\rm B} = 180^\circ $

 

$ \overline{\rm BA} $의 연장선을 긋고, 그 위의 한 점을 E라고 할게요.

(2) $ \angle{\rm DAB} + \angle{\rm EAD} = 180^\circ $ (평각)

(1), (2)에 의해 $ \angle{\rm B} = \angle{\rm EAD} $입니다.

$ \angle{\rm B} $과 $  \angle{\rm EAD} $는 동위각의 위치에 있죠?

동위각이 서로 크기가 같으면 두 직선은 평행해요.

따라서, $ \overline{\rm AD} \mparallel \overline{\rm BC} $입니다.

 

또 $ \angle{\rm B} = \angle{\rm D} $이므로

$ \angle{\rm EAD} = \angle{\rm D} $

이 두 각은 선분 EB, DC를 기준으로 보면 엇각의 위치예요.

엇각의 크기가 서로 같으면 두 직선은 평행하기 때문에

$ \overline{\rm AB} \mparallel \overline{\rm DC} $

 

따라서 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 $ \square{\rm ABCD} $는 평행사변형이에요.

 

(3) 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

가정: $ \overline{\rm AB} = \overline{\rm DC},\; \overline{\rm BC} = \overline{\rm AD} $

$ \square{\rm ABCD} $에서 대각선 $\rm AC $를 긋습니다.

 

$ \triangle{\rm ABC} $와 $\triangle{\rm CDA} $에서,

$ \overline{\rm AB} = \overline{\rm CD} $ (가정)

$ \overline{\rm BC} = \overline{\rm DA} $ (가정)

$ \overline{\rm AC} $는 공통

따라서 $ \triangle{\rm ABC} \equiv \triangle{\rm CDA} $ (SSS 합동)

 

합동인 삼각형에서 대응각이 같기 때문에 

$ \angle{\rm BAC} = \angle{\rm DCA} $입니다.

이 두 각은 $ \overline{\rm AB} $와 $ \overline{\rm DC} $를 기준으로 엇각이면서 크기가 같으므로

$ \overline{\rm AB} \mparallel \overline{\rm DC} $

또 다른 대응각인 $ \angle{\rm BCA} $과 $ \angle{\rm DAC} $도 크기가 같기 때문에 

$ \overline{\rm AD} \mparallel \overline{\rm BC} $

두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 $ \square{\rm ABCD} $는 평행사변형이에요.

 

(4) 두 대각선은 서로를 이등분한다.

앞에서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으면 평행사변형임을 증명했죠?

이번에는 두 쌍의 대변이 평행하다는 것을 증명하지 않고, 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같음을 보여서 평행사변형임을 증명할 거예요.

 

가정: $ \overline{\rm OA} = \overline{\rm OC},\; \overline{\rm OB} = \overline{\rm OD} $

$ \square{\rm ABCD} $의 대각선을 그리고 두 대각선의 교점을 O라고 할게요.
$\triangle{\rm OAB}$와 $\triangle{\rm OCD} $에서,
$\overline{\rm OA} = \overline{\rm OC} $ (가정)
$\overline{\rm OB} = \overline{\rm OD} $ (가정)
$\angle{\rm AOB} = \angle{\rm COD} $ (맞꼭지각)
따라서, $\triangle{\rm OAB} \equiv \triangle{\rm OCD} $ (SAS 합동)
대응변인 $\overline{\rm AB} = \overline{\rm CD} $

같은 방법으로 나머지 대변의 길이가 같음을 증명해볼게요.
$\triangle{\rm OAD}$와 $\triangle{\rm OCB} $를 보면,
$\overline{\rm OA} = \overline{\rm OC},\; \overline{\rm OB} = \overline{\rm OD} $ (가정)
$\angle{\rm AOD} = \angle{\rm COB} $ (맞꼭지각)
따라서, $\triangle{\rm OAD} \equiv \triangle{\rm OCB} $ (SAS 합동)이므로
$\overline{\rm AD} = \overline{\rm CB} $
즉, 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 $\square{\rm ABCD} $는 평행사변형이에요.

 

(5) 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

앞의 평행사변형이 되는 조건들은 평행사변형의 성질을 거꾸로 한 것이었어요.

하지만 이 조건은 그렇지 않기 때문에 잘 알아둬야 해요.

 

한 쌍의 대변이 서로 평행하고 그 길이가 같은 사각형에서, 우리는 나머지 한쌍의 대변도 길이가 같다는 것을 보여주어서 평행사변형임을 증명할 거예요.

 

가정: $ \overline{\rm AD} \mparallel \overline{\rm BC},\; \overline{\rm AD} = \overline{\rm BC} $

 대각선 AC 를 긋습니다.

$ \triangle{\rm ABC},\; \triangle{\rm CDA} $에서

$ \overline{\rm BC} = \overline{\rm DA} $ (가정)

$ \angle{\rm ACB} = \angle{\rm CAD} $ (평행선의 엇각)

$ \overline{\rm AC} $는 공통

따라서, $ \triangle{\rm ABC} \equiv \triangle{\rm CDA} $ (SAS 합동)이므로

$ \overline{\rm AB} = \overline{\rm CD} $으로 두 쌍의 대변의 길이가 같아요.

그러므로 $ \square{\rm ABCD} $는 평행사변형입니다.