평행사변형과 넓이

이번에는 평행사변형을 잘라서 만들어진 삼각형들의 넓이의 관계에 대해 알아볼 거예요.

그리고 삼각형들과 평행사변형의 넓이에는 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거고요.

평행사변형을 대각선을 기준으로 자르거나, 평행사변형 내부의 한 점을 기준으로 자를 거예요.

 

대각선에 의한 분할

(1) 평행사변형의 넓이는 한 대각선에 의하여 이등분된다.

합동인 삼각형의 넓이는 같습니다.

삼각형의 합동을 이용해서 넓이가 똑같이 나뉘는 것을 증명할 거예요.

 

대각선 AC를 긋고 $ \triangle{\rm ABC},\; \triangle{\rm CDA}$를 볼게요.
$ \overline{\rm AB} = \overline{\rm CD},\; \overline{\rm AD} = \overline{\rm CB} $ (평행사변형의 성질)
$ \overline{\rm AC} $는 공통
따라서, $ \triangle{\rm ABC} \equiv \triangle{\rm CDA} $ (SSS 합동)

두 삼각형이 합동이므로 넓이는 같습니다.
평행사변형의 넓이는 두 삼각형 넓이의 합과 같으므로 
$ \square{\rm ABCD} = \triangle{\rm ABC} + \triangle{\rm CDA} $
$ \triangle{\rm ABC} = \triangle{\rm CDA} = \frac{1}{2}\square{\rm ABCD} $
따라서 대각선 AC는 평행사변형의 넓이를 이등분합니다.

 

(2) 평행사변형의 넓이는 두 대각선에 의하여 사등분된다.

이번에는 대각선을 두 개를 그어서 생긴 삼각형 4개의 넓이를 비교해 볼거예요.

 

우선 $ \triangle{\rm ABO},\; \triangle{\rm CDO} $를 볼게요.
$ \overline{\rm AB} = \overline{\rm CD} $ (평행사변형의 성질)
$ \angle{\rm OAB} = \angle{\rm OCD} $ (엇각)
$ \angle{\rm OBA} = \angle{\rm ODC} $ (엇각)
따라서, $ \triangle{\rm ABO} \equiv \triangle{\rm CDO} $ (ASA 합동)이므로
두 삼각형의 넓이는 같습니다.

 

이제 $ \triangle{\rm ABO} $와 $ \triangle{\rm DAO} $를 볼게요.
평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하므로 
$ \overline{\rm OB} = \overline{\rm OD} $입니다.
$ \triangle{\rm ABO} $에서 $ \overline{\rm OB} $를 밑변으로 두면 높이는 점 A에서 $ \overline{\rm BD} $까지의 거리입니다.
$ \triangle{\rm DAO} $의 높이도 마찬가지이죠.
즉, $ \triangle{\rm ABO} $와 $ \triangle{\rm DAO} $는 밑변의 길이와 높이가 같아요.
따라서 넓이가 같습니다.

$ \triangle{\rm BCO} $와 $ \triangle{\rm CDO} $도 마찬가지로 
밑변의 길이가 같고($ \overline{\rm OB} = \overline{\rm OD} $)
높이가 같아요.(점 C에서 $ \overline{\rm BC} $까지의 거리)

$ \triangle{\rm ABO} $와 $\triangle{\rm CDO} $는 넓이가 같으므로(합동)
$ \triangle{\rm ABO} = \triangle{\rm DAO} = \triangle{\rm CDO} = \triangle{\rm BCO} $
두 대각선으로 쪼개진 네 삼각형의 넓이가 모두 같아요.

평행사변형의 넓이는 네 삼각형 넓이의 합과 같으므로 한 삼각형의 넓이는 평행사변형 넓이의 $ \frac{1}{4} $이 됩니다.

$ \triangle{\rm ABO} = \triangle{\rm DAO} = \triangle{\rm CDO} = \triangle{\rm BCO} $ $ = \frac{1}{4}\square{\rm ABCD} $
즉, 두 대각선은 평행사변형의 넓이를 사등분합니다.

 

한 점에 의한 분할

(1) 평행사변형 내부의 한 점 P에 대하여 마주보는 두 삼각형의 합은 평행사변형 넓이의 반이다.

이번에는 평행사변형 내부에 한 점을 찍고, 그 점과 네 꼭짓점을 연결하여 삼각형 네 개를 만들어 볼게요.

이 네 삼각형의 넓이의 관계는 점 P를 기준으로 새로운 평행사변형을 그려서 알아볼 거예요.

점 P를 지나면서 $ \overline{\rm AB} $와 평행한 직선과 점 P를 지나면서 $ \overline{\rm BC} $와 평행한 직선을 긋습니다.

점 P를 꼭짓점으로 하는 네 평행사변형이 생겼네요.

 

$ \overline{\rm PA},\; \overline{\rm PB},\; \overline{\rm PC},\; \overline{\rm PD} $는 각 평행사변형의 대각선이에요.
평행사변형의 넓이는 한 대각선에 의해 이등분되니까 각 평행사변형마다 넓이가 같은 두 개의 삼각형으로 나뉩니다.

점 P를 기준으로 마주 보는 두 삼각형끼리 짝지으면
$ \triangle{\rm PAB} + \triangle{\rm PCD} = $ (ⓐ+ⓑ) + (ⓒ+ⓓ)
$ \triangle{\rm PBC} + \triangle{\rm PDA} = $ (ⓑ+ⓒ) + (ⓐ+ⓓ)
결국, 마주보는 삼각형끼리의 넓이의 합이 같아요.
이를 모두 더하면 평행사변형의 넓이가 되죠?
그러므로 마주보는 삼각형끼리의 넓이의 합은 평행사변형 넓이의 절반입니다.
$ \triangle{\rm PAB} + \triangle{\rm PCD} = \triangle{\rm PBC} + \triangle{\rm PDA} $ $ = \frac{1}{2}\square{\rm ABCD} $