평행사변형의 성질

평행사변형의 정의

평행사변형에 대해 알아보기 전에 사각형을 설명하기 위한 용어를 정리할게요.

사각형에서 마주 보는 변을 대변, 마주 보는 각을 대각이라고 해요.

$ \square{\rm ABCD} $에서

대변은 1) $ \overline{\rm AB} $와 $ \overline{\rm DC} $, 2) $ \overline{\rm AD} $와 $ \overline{\rm BC} $

대각은 1) $ \angle{\rm A} $와 $\angle{\rm C} $, 2) $ \angle{\rm B} $와 $\angle{\rm D} $

이렇게 각각 두 쌍씩 있어요.

 

평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 뜻합니다.

 

평행사변형의 성질

평행사변형의 성질을 증명하기 위해서 삼각형의 합동, 그리고 평행선에서 엇각의 크기가 같음을 이용할 거예요.

(1) 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같다.

평행사변형 ABCD가 있습니다.

대각선 AC를 그으면 $ \triangle{\rm ABC} $와 $ \triangle{\rm CDA} $가 만들어집니다.

평행선에서 엇각의 크기는 같으므로

(1) $ \angle{\rm BAC} = \angle{\rm DCA} $ (엇각)

(2) $ \overline{\rm AC} $는 공통

(3) $ \angle{\rm ACB} = \angle{\rm CAD} $ (엇각)

따라서 $ \triangle{\rm ABC} \equiv \triangle{\rm CDA} $ (ASA 합동)이므로

$ \angle{\rm B} = \angle{\rm D} $입니다.

그리고 $ \angle{\rm A} $와 $ \angle{\rm C} $는 두 엇각의 합으로 나타낼 수 있어요.

$ \angle{\rm A} = \angle{\rm BAC} + \angle{\rm CAD} = \angle{\rm DCA} + \angle{\rm ACB} = \angle{\rm C} $

따라서 $ \angle{\rm B} = \angle{\rm D} $, $ \angle{\rm A} = \angle{\rm C} $

즉, 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같습니다.

 

(2) 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다.

성질 (1)의 증명 과정에서, 대각선 AC를 그엇을 때 $ \triangle{\rm ABC} \equiv \triangle{\rm CDA} $ (ASA 합동)인 것이 증명되었죠?

똑같은 삼각형의 합동을 이용해서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같음을 증명할 수 있어요.

$ \triangle{\rm ABC} \equiv \triangle{\rm CDA} $ (ASA 합동)이므로 두 쌍의 대응변 길이는 같아요.

따라서 $ \overline{\rm AB} = \overline{\rm DC} $, $ \overline{\rm BC} = \overline{\rm AD} $

즉, 평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같습니다.

$ \overline{\rm AB} = \overline{\rm CD} $, $ \overline{\rm AD} = \overline{\rm CB} $

 

(3) 두 대각선은 서로를 이등분한다.

평행사변형 ABCD의 두 대각선의 교점을 O라고 할게요.

우리는 점 O를 기준으로 나뉜 선분 AO와 CO, BO와 DO가 각각 같음을 증명해야해요.

그렇다면 각각의 선분을 포함하고 있는 두 삼각형이 합동임을 보이면 되겠네요.

$ \triangle{\rm AOB} $와 $ \triangle{\rm COD} $를 봅시다.

(1) $ \angle{\rm BAO} = \angle{\rm DCO} $ (엇각)

(2) $ \overline{\rm AB} = \overline{\rm CD} $ (평행사변형의 성질2)

(3) $ \angle{\rm ABO} = \angle{\rm CDO} $ (엇각)

따라서 $ \triangle{\rm AOB} \equiv \triangle{\rm COD} $ (ASA 합동)이므로

$ \overline{\rm AO} = \overline{\rm CO} $, $ \overline{\rm BO} = \overline{\rm DO} $

즉, 평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분합니다.