삼각형의 내심(1) - 삼각형 내심의 정의와 성질

삼각형 내심의 정의

삼각형의 내심은 '내접원의 중심'이라는 의미예요.

$ \triangle{\rm ABC} $의 세 변이 모두 원 I에 접할 때, 원 I는 $ \triangle{\rm ABC} $에 내접한다고 하고, 원 I를 $ \triangle{\rm ABC} $의 내접원이라고 해요.

이때 원 I의 중심인 I를 $ \triangle{\rm ABC} $의 내심이라고 해요.

 

삼각형 내심의 성질: 내심에서 세 변에 이르는 거리는 모두 같다.

원이 삼각형에 내접한다는 것이 무슨 의미일까요?

그것을 알기 위해서는 '접한다'는 말의 뜻부터 알아야 해요.

 

직선 $ l $이 원 O와 한 점에서 만날 때, 직선 $ l $은 원 O에 접한다고 하고, 직선 $ l $은 원 O의 접선, 만나는 점을 접점이라고 해요.

이때, 원의 중심과 접점을 이은 반지름은 접선과 수직이예요.

즉, 접점은 원의 중심에서 접선에 내린 수선의 발이라고 볼 수 있죠?

 

점과 직선 사이의 거리는 점에서 직선에 수선을 내려서 생긴 수선의 발까지의 거리이다.

 

따라서, 원의 중심과 접선 사이의 거리는 반지름이 됩니다.

 

원의 중심이 내심일 때, 삼각형의 세 변은 모두 내접원의 접선이에요.

따라서, 내심에서 삼각형 각 변에 이르는 거리는 내접원의 반지름으로 모두 같아요.

 

삼각형 내심의 증명: 세 내각의 이등분선은 한 점(내심)에서 만난다.

내심은 각의 이등분선의 성질은 이용해서 증명할 수 있어요.

 

각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각의 두 변에 이르는 거리는 서로 같다.

 

이 성질을 이용합니다.

$ \triangle{\rm ABC} $에서 $ \angle{\rm A} $, $ \angle{\rm B} $의 이등분선의 교점을 I라 하고,

점 I에서 삼각형의 각 변에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 할게요.

점 I는 $ \angle{\rm A} $의 이등분선 위의 점이므로 점 I에서 두 변에 이르는 거리는 같습니다.($ \overline{\rm ID} = \overline{\rm IF} $)

또한, 점 I는 $ \angle{\rm B} $의 이등분선 위의 점이므로 $ \overline{\rm ID} = \overline{\rm IE} $

따라서 $ \overline{\rm ID} = \overline{\rm IE} =\overline{\rm IF} $

$ \triangle{\rm ABC} $의 두 내각 A, B의 이등분선의 교점 I에서 세 변에 이르는 거리가 같다는 것이 증명되었습니다.

이제 나머지 내각의 이등분선도 점 I를 지나는지 알아볼게요.

$ \triangle{\rm IEC} $, $ \triangle{\rm IFC} $를 봅시다.

(1) $ \angle{\rm IEC} = \angle{\rm IFC} = 90^\circ $

(2) $ \overline{\rm IC} $는 공통

(3) $ \overline{\rm IE} = \overline{\rm IF} $

이므로 $ \triangle{\rm IEC} \equiv \triangle{\rm IFC} $ (RHS 합동)입니다.

$ \angle{\rm ICE} = \angle{\rm ICF} $이므로 $ \overline{\rm IC} $는 $ \angle{\rm C} $의 이등분선입니다.

이로써 $ \triangle{\rm ABC} $의 세 내각의 이등분선은 한 점 I에서 만나는 것을 알 수 있습니다.

 

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<삼각형의 내심 정리>

1. 내심에서 세 변이 이르는 거리는 모두 같다.

    ($ \overline{\rm ID} = \overline{\rm IE} =\overline{\rm IF} $)

2. 세 내각의 이등분선은 한 점(내심)에서 만난다.