각의 이등분선의 성질

각의 이등분선은 각을 같은 크기로 나누는 직선이에요. 

각의 이등분선 위에 있는 점과 각의 두 변 사이에는 특별한 관계가 있는데요, 이것은 직각삼각형의 합동 조건을 이용해서 설명할 수 있어요.

 

각의 이등분선의 성질: 각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각의 두 변에 이르는 거리는 같다.

한 점에서 각의 변에 이르는 거리는 어떻게 구하죠?

점과 직선 사이의 거리는 점에서 직선에 수선을 내려서 생긴 수선의 발까지의 거리를 의미해요.

수선과 직선이 이루는 각은 직각이라는 점을 이용해서 각의 이등분선의 성질을 증명할 거에요.

 

각의 이등분선 위의 임의의 점을 P라고 하고, 점 P에서 각의 두 변 $ \overrightarrow{\rm OQ} $, $ \overrightarrow{\rm OR} $에 내린 수선의 발을 각각 A, B라고 할게요.

그렇다면 $ \overline{\rm PA} = \overline{\rm PB} $ 임을 증명하면 됩니다.

$ \overline{\rm PA} $를 포함하는 삼각형과 $ \overline{\rm PB} $를 포함하는 하는 삼각형이 합동이임을 보여주면 되겠죠?

점(P), 각의 꼭짓점(O), 수선의 발(A, B)로 이루어진 두 삼각형을 그립니다($ \triangle{\rm AOP} $, $  \triangle{\rm BOP} $)

$ \triangle{\rm AOP} $와 $  \triangle{\rm BOP} $는 직각삼각형이기 때문에 직각삼각형의 합동 조건을 이용할 수 있습니다.

 

(1) $ \angle{\rm OAP} = \angle{\rm OBP} = 90^\circ $ (수선)

(2) $ \overline{\rm PO} $는 공통

(3) $ \angle{\rm AOP} = \angle{\rm BOP} $ (각의 이등분선)

빗변의 길이가 같은 두 직각삼각형에서 한 예각의 크기가 같으니까 RHA 합동입니다.

따라서 $ \triangle{\rm POA} \equiv \triangle{\rm POB} $ 이므로

$ \overline{\rm PA} = \overline{\rm PB} $ 

즉, 각의 이등분선 위의 점(P)에서 두 변에 이르는 거리는 같습니다.

 

각의 이등분선의 성질:  각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 그 각의 이등분선 위에 있다.

점 P에서 $ \angle{\rm AOB} $의 각 변까지의 거리를 구하기 위해서 수선을 내려 수선의 발 A와 B를 표시합니다.

그렇다면,

(1) $ \overline{\rm PA} = \overline{\rm PB} $ (같은 거리)

(2) $ \angle{\rm OAP} = \angle{\rm OBP} = 90^\circ $ (수선)

직각삼각형의 합동조건을 이용하기 위해 $ \triangle{\rm AOP} $, $  \triangle{\rm BOP} $를 보면,

(3) $ \overline{\rm PO} $는 공통

빗변의 길이가 같은 두 직각삼각형에서 한 변의 길이가 같으니까 RHS 합동입니다.

따라서 $ \triangle{\rm POA} \equiv \triangle{\rm POB} $ 이므로

$ \angle{\rm AOP} = \angle{\rm BOP} $ 

즉, 점 P는 각의 이등분선 위의 점입니다.