삼각형의 외심(1) - 삼각형 외심의 정의와 성질

삼각형 외심의 정의

외심은 '외접원의 중심'이라는 의미예요.

외접원이 무엇일까요?

삼각형 ABC의 세 꼭짓점이 모두 원 O 위에 있을 때, 원 O는 $ \triangle{\rm ABC} $에 외접한다고 하고, 원 O를 $ \triangle{\rm ABC} $의 외접원이라고 해요.

이때 원 O의 중심인 O를 $ \triangle{\rm ABC} $의 외심이라고 해요.

 

삼각형 외심의 성질: 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같다.

원의 정의는 '한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임'이에요.

그 거리는 '반지름'이라고 하죠?

즉, 원 위의 점이라면 원의 중심과의 거리가 반지름으로 모두 같다는 말이에요.

여기에서 외심의 성질 하나를 이끌어낼 수 있어요.

삼각형의 세 꼭짓점은 모두 원 위의 점이니까 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 외접원의 반지름으로 모두 같아요.

 

삼각형 외심의 증명: 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점(외심)에서 만난다.

외심은 어떻게 작도할 수 있을까요?

바로 선분의 수직이등분선의 성질을 이용합니다.

 

선분의 수직이등분선의 성질: 선분의 수직이등분선 위의 한 점에서 그 선분의 양 끝 점에 이르는 거리는 같다.

이것도 삼각형의 합동을 이용해서 간단하게 증명할 수 있어요.

(1) $ \overline{\rm AM} = \overline{\rm BM} $ (수직이등분선)

(2) $ \angle{\rm PMA} = \angle{\rm PMB} = 90^\circ $ (수직이등분선) 

(3) $ \overline{\rm PM} $은 공통

따라서 $ \triangle{\rm PMA} \equiv  \triangle{\rm PMB} $ (SAS 합동)이므로 $ \overline{\rm PA} = \overline{\rm PB} $

 

삼각형 세 변 중 두 변의 수직이등분선이 한 점에서 만난다는 것은 어렵지 않게 알 수 있겠죠? 

두 직선이 평행하지 않는 이상 한 점에서 만날 거니까요.

그런데 우리는 세 직선이 한 점에서 만난다는 것을 설명해야 해요.

우선 두 변부터 살펴볼게요.

 

$ \triangle{\rm ABC} $에서 변 AB와 변 BC의 수직이등분선의 교점을 O라 하면 

점 O는 $ \overline{\rm AB} $의 수직이등분선 위의 한 점이므로 $ \overline{\rm OA} = \overline{\rm OB} $

또한, 점 O는 $ \overline{\rm BC} $의 수직이등분선 위의 한 점이기도 하니까 $ \overline{\rm OB} = \overline{\rm OC} $

따라서 $ \overline{\rm OA} = \overline{\rm OB} = \overline{\rm OC} $

 

두 변의 수직이등분선의 교점을 찾으니까 그 점에서 $ \triangle{\rm ABC} $의 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같습니다.

즉, 두 변의 수직이등분선의 교점이 바로 외심이 되고 교점에서 세 꼭짓점까지의 거리를 반지름으로 하는 외접원을 그릴 수 있겠네요!

그렇지만 나머지 한 변의 수직이등분선도 한 점에서 만나는지 알아봅시다.

 

점 O에서 변 AC에 내린 수선의 발을 D라고 할게요.

$ \triangle{\rm OAD}$, $ \triangle{\rm OCD} $에서 

(1) $ \angle{\rm ODA} = \angle{\rm ODC} = 90^\circ $ (수선)

(2) $ \overline{\rm OA} = \overline{\rm OC} $

(3) $ \overline{\rm OD} $는 공통

따라서 $ \triangle{\rm OAD} \equiv  \triangle{\rm OCD} $ (RHS 합동)이므로 $ \overline{\rm AD} = \overline{\rm CD} $

즉, 점 D는 변 AC의 중점이고 $ \overline{\rm OD} $는 변 AC의 수직이등분선입니다.

그러므로 $\triangle{\rm ABC} $의 세 변의 수직이등분선은 한 점 O에서 만나는 것을 알 수 있습니다.

 

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<삼각형의 외심 정리>

1. 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같다.

    ($ \overline{\rm OA} = \overline{\rm OB} = \overline{\rm OC} $)

2. 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점(외심)에서 만난다.