이등변삼각형의 성질

이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형을 말합니다.

길이가 같은 두 변이 이루는 각을 꼭지각,

꼭지각의 대변을 밑변,

밑변의 양 끝 각을 밑각이라고 해요.

 

이등변삼각형의 성질: 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.

이제 삼각형의 합동을 이용해서 이것을 증명해볼게요.

꼭지각 A의 이등분선을 그어 밑변과 만나는 점을 D라고 할게요.

그러면 $ \triangle{\rm ABD} \ $와 $ \triangle{\rm ACD} $가 생깁니다.

 

(1) $ \overline{\rm AB} = \overline{\rm AC} $

(2) $ \angle{\rm BAD} = \angle{\rm CAD} $

(3) $ \overline{\rm AD} $는 공통

따라서, $ \triangle{\rm ABD} \equiv \triangle{\rm ACD} $ (SAS 합동)이므로 $ \angle{\rm B} = \angle{\rm C} $

 

이등변삼각형의 성질: 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

앞에서 $ \triangle{\rm ABD} \equiv \triangle{\rm ACD} $인 것을 증명했죠?

이 내용을 이용해서 증명을 해볼게요.

1. $ \overline{\rm BD} = \overline{\rm CD} $ (합동인 삼각형의 대응변)
2. $ \angle{\rm ADB} = \angle{\rm ADC} $ (합동인 삼각형의 대응각)
3. $ \angle{\rm ADB} + \angle{\rm ADC}  = 180^\circ $이므로 $ \angle{\rm ADB} = \angle{\rm ADC}  = 90^\circ $
4. 따라서, $ \overline{\rm AD} \perp \overline{\rm BC} $

 1과 2에 의해서 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다는 것이 증명되었습니다.

 

 

이등변삼각형이 되는 조건

이등변삼각형에는 어떤 성질이 있는지 알아봤어요.

반대로, 어떤 삼각형이  두 밑각의 크기가 같다면, 이 삼각형은 이등변삼각형일까요?

결론부터 말하자면,

네. 맞습니다.

 

두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.

이것을 증명해볼게요.

이번에도 삼각형의 합동을 이용할 거예요.

$ \angle{\rm A} $의 이등분선을 그어 $ \triangle{\rm ABD} \ $와 $ \triangle{\rm ACD} $를 만듭니다.

 

(1) $ \angle{\rm BAD} = \angle{\rm CAD} $

(2) $ \overline{\rm AD} $는 공통

 

삼각형 세 내각의 크기의 합은 $ 180^\circ $이므로 두 각의 크각 같으면 나머지 한 각의 크기도 같아요.

$ \angle{\rm BAD} = \angle{\rm CAD} $ 이고, $ \angle{\rm B} = \angle{\rm C} $이므로

(3) $ \angle{\rm ADB} = \angle{\rm ADC} $

따라서, $ \triangle{\rm ABD} \equiv \triangle{\rm ACD} $ (ASA 합동)이므로 $ \overline{\rm AB} = \overline{\rm AC} $